“Salus populi suprema lex est”
Международное общественное объединение

1872 - 2017

Russian Physical Society, International

Международное общественное объединение Русское Физическое Общество (сокращённо – РусФО, RusPhS) - добровольное объединение учёных, инженерно-технической интеллигенции, изобретателей, предпринимателей для совместной интеллектуальной и научно-практической деятельности в области естествознания, - науки о природе.
Научная цель: построение единой физической картины мира и поиск основной целевой функции человечества.

Харитонов П.В. Способ оптимизации управления



СПОСОБ  ОПТИМИЗАЦИИ  УПРАВЛЕНИЯ


П. В. Харитонов

 
 
Предложен закон управления и алгоритм вычисления и адаптивной настройки коэффициентов оптимального управления объектов, относящихся к колебательным.. На основе условий, обеспечивающих абсолютную минимизацию СКО, получено аналитическое решение, допускающее их трансформацию в апериодические. Проведён сравнительный анализ результатов моделирования и аналитического решения при использовании предложенного алгоритма и закона управления.
 

Среди всех критериев качеств оптимального управления в статистической теории оптимальных систем простейшим с математической точки зрения является критерий минимума средней квадратической ошибки - СКО [1]. Оптимальная система, найденная по этому критерию, обладает, как известно, наиболее возможной точностью. Однако требование точности не является единственным.

Например, для колебательных систем не менее важным является требование оптимального по быстродействию перемещения на заданное расстояние, с гашением колебаний, или требование по максимальному перемещению за фиксированное время [2]. При этом ещё очень важным является требование по минимизации энергии, затрачиваемой на управление. Известно, что для реальной автоматической системы все эти требования представляются взаимоисключающими, поэтому проектирование любой такой системы обычно включает в себя ряд компромиссных решений с целью наилучшим образом удовлетворения всем предъявленным требованиям. Известно также, что для реальных автоматических систем нельзя добиться уменьшения СКО ниже определённого порога, в силу - якобы - принципиальной невозможности устранения влияния случайных возмущений - шумов и помех [1].

Тем не менее, вызывает интерес вопрос: «Сохранится ли взаимная противоречивость требований по оптимальному управлению, если допустить возможность абсолютного уменьшения СКО вплоть до нулевого значения?».

В данной статье не рассматривается решение этой задачи в рамках чисто математической теории, то есть с позиций возможности существования и единственности решений, а приводятся результаты исследования по использованию выводов работы [3], свидетельствующие о возможности уменьшения СКО на 5 - 6 порядков ниже определённого тепловыми шумами порога и, как следствие, приводящего к значительному повышению чувствительности и быстродействия автоколебательной системы при определённом законе управления и соотношении её параметров и коэффициентов управления. То есть в этом случае удалось выразить критерий качества аналитически через параметры системы. Полученное аналитически выражение допускает возможность своей минимизации не путём приравнивания нулю его частных производных по параметрам системы, как обычно, а путём задания, во-первых, параметрического соотношения между частотой и коэффициентом демпфирования, обеспечивающего дальнейшую зависимость выражения только от одного параметра, коэффициента модуляции - ho , который затем легко определяется путём решения, во-вторых, биквадратного уравнения. Полученное таким образом параметрическое соотношение даёт возможность широкого варьирования параметрами системы, оставляя неизменной её оптимальность с точки зрения всех её требований.

Использование же результатов работы [3] заключается в применении здесь аналогичных подходов по исследованию на стохастическую устойчивость уравнения, описывающего динамику стабилизационных колебаний твёрдого объекта (например, космического аппарата (КА) с управляемой гравитационной стабилизацией в канале тангажа), которое имеет вид обобщённого уравнения Матье:
 

Jz· θ =  - My                                                                      (1)

 
где:
My = [K1 (1 + ho · cos (2·Wст·t)) + Ko1] ·θ + (Ko1 + K2) · θ                                 (1a)

 
Wст   -   стабилизационная частота объекта;

Ko1 = 3·Wo2·(Jy - Jx) - гравитационный момент (в общем случае вместо него может быть собственный коэффициент жёсткости или немодулируемый коэффициент управления по θ);

Jz, Jy, Jx - моменты инерции объекта относительно соответствующих осей;

K1   -   модулируемый коэффициент управления по θ;

Ko2  - собственный (немодулируемый) коэффициент управления по θ.

K2   -   коэффициент управления по θ;

ho   -   коэффициент модуляции K1.

Основным подходом здесь, также как и в [3], является принцип разделения движения объекта на быстрое и медленное с последующим приведением описывающего его уравнения к стандартному виду [4].

В силу полного соответствия внешнего вида уравнения (1) исследованному в работе [3], достаточно только установить правомерность применения данного подхода к этому уравнению, чтобы распространить на него выводы, позволяющие предельно просто алгоритмизировать вычисление коэффициентов оптимального управления [5], оптимальность которого (и это самое главное) не являлась бы взаимоисключающей по её различным требованиям.

Для этого перепишем уравнение (1) в более общем виде, заменив для дальнейшего удобства переменную θ(t) на X(t):

Jz·X + (Ko2 + K2X + [K1·(1 + ho·cos(υ·t)) + K01] ·X = 0                             (2)

 
Разделив все части уравнения на Jz и освободившись от

демпфирующего члена заменой переменной X(t) = e(-λo·t) · Z(t), получим:

Z + Wст2·(1 + h1·cos(υ·t))·Z = 0                                                (3)

где:
Wст2 = (Ko1 + K1)/Jz - λo2

λo = (Ko2 + K2)/(2·Jz)                                                    (3а)

h1 = ho·(Wст2 + λo2)/Wст2

Попробуем теперь решить его, используя метод последовательных приближений [6].

Тогда в первом приближении к резонансному случаю с допустимым отклонением модуляционной частоты  υ  в диапазоне:

Wст·(1 - h1/4)  <  υ  <  2·Wст·(1 + h1/4)                                         (3б)

 
решение уравнения (3) можно записать в виде:

Z = a(t)·cos(Wст·t + α(t))                                                          (4)

где:
da/dt = - a·h1·Wст2/(2·υ)·sin(2·a(t)) 
                   (5)
dα/dt = (Wст - υ/2) - h1·Wст2/(2·υ)·cos(2·α(t)).

 

Для того чтобы движение, описываемое уравнениями (4) и (5) соответствовало критерию медленности, необходимо выполнение следующих условий [7]:
 

a(t)/(Wст·a(t))  <  1;            α(t)/Wст  <<  1,                                                  (6)

 
то есть относительное изменение медленных функций (амплитуды  a(t )  и фазы  α(t))  за период колебаний должно быть меньше единицы.

Подставляя в (6) вместо a(t)  и  α(t)  их выражения из (5), окончательно получим:
 

h1/4·sin2α   <<  1;          h1/4·cos2α   <<  1.

 
Минимум СКО согласно работы [3] достигается при Wст = 2πλo  и  ho 0,553, поэтому можно считать, что требование (6) для нашей системы выполнено.

Таким образом, отсюда можно установить первое параметрическое соотношение, обеспечивающее минимум СКО для системы, описываемой уравнением (2), [5]: 

π·(Ko2 + K2)/Jz = Wст

Jz·(Ko1 + Ko2)/[(1 + 4·π2) · (Ko2 + K2)2] = 1                                              (7)

Тем не менее, в этой работе [5] остаётся ещё не ясно, как связаны между собой коэффициенты Ko1 и K1, Ko2 и K2, а также как они связаны с требуемым временем приведения объекта к заданному положению  tз .

Введя новые переменные  U = a·cosα   и  V = a·sinα, перейдём от системы уравнений (5) к системе уравнений с постоянными коэффициентами:

dU
/dl = (- h1·Wст/4)·V - (Wст - υ/2)·V
  (8)
dV/dt = (- h1·Wст/4)·U + (Wст - υ/2)·U 

 
Тогда корнями характеристической матрицы (8) будут:


λ1,2 = ± h12·Wст2/(4·υ2) - (Wст - υ/2)2 .
 

Отсюда видно, что при равенстве модуляционной частоты двойной стабилизационной  υ = 2·Wст  оба корня будут вещественны, равны по абсолютной величине, но разными по знаку: λ1,2 = ± h1·Wст/4.

Поэтому переменные U  и  V  будут иметь вид:

U = C1·e(λ1·t) + C2·e(-λ1·t)
 
V = - C1·e(λt) + C2·e(-λ1·t).

 
Учитывая, что решение (4) можно представить и в виде:

Z(t) = U·cos(Wст·t) + V·sin(Wст),                                               (4а)

 
переменная амплитуда определится из выражения:

a2 = U2 + V2 ,

  а переменная фаза как  α = arktg(V/U).

 

Однако, в силу того, что уравнение (3) для  Z  не содержит демпфирующего члена  λo, а соотношения (3а) тем не менее должны выполняться и здесь, то естественно представить в роли демпфирующего члена (но уже с обратным знаком) полученный корень λ1.

Такое представление согласуется и с общеизвестным фактом, заключающимся в физической интерпретации параметрической модуляции, как способа внесения в контур отрицательного сопротивления.

В результате: Wст =- 2·π·λ1 , уравнение (3) будет эквивалентно уравнению:

Z - 2·λ1·Z + Wст·Z = 0,                                                          (3в)

 
а соотношение (3а) преобразуется к виду: 

Wст2 = (Ko1 + K1)/Jz - λ12

  (3г)
λ1 = (Ko2 + K2)/(2·Jz

 
Тогда решение (4) может быть записано так (Рис.1):

Z = a(t)·cos{-2π·λ1·t  +  arktg[-th(2π·λ1·t)]},                                             (9)


где:              a(t) = 2(C12·e(2λ1·t) + C22·e(-2λ1·t) ) .

 
Если перейти теперь к старой переменной X(t), то решение первоначального уравнения (2) будет иметь вид:

X =a1(t)·cos{2π·(λo - λ1)·t + arktg[-th(2π·λ1·t)]},                                (10)

 
где:                a1(t) = 2(C12·e2(λ1-λo)·t + C22·e-2(λ1-λo)·t).

 
 
Значение ho, при котором будет иметь место: λ1 - λo = 0

 
или с учётом  Wст = 2πλo , определится из уравнения:

ho·(4π2 + 1)/8π  - 1 = 0 .                                                                         (11)

 
После его решения ho0,62089, что примерно на 0,07 превышает значение ho, при котором имеет место стохастическая устойчивость.

Это несовпадение естественно объясняется неучтённым вкладом случайных возмущений в виде тепловых шумов (при решении динамического уравнения) в повышение неустойчивости системы управления. То есть в общеизвестном случае значение ho ≈ 0,62089 означает границу динамической устойчивости, для которой решение уравнения (2) записывается так:
          
X(t) = Xo1·cos(Wст·t),                                                       (10а)

  где: Xo1   -   начальное отклонение.

Однако, при выдерживании параметров управления в соответствии с соотношением (7) это периодическое решение качественно преобразуется к решению вида (10), которое характеризует движение как апериодическое, обладающее сверхбыстродействием, сверхточностью, энергетической минимальностью и абсолютной устойчивостью.

Задаваясь теперь начальными и граничными условиями: 

X(0) = Xo1              X(tз) = 0

X(0) = 0                 X(tз) = 0

  получим окончательное решение:`

X = a2(t)cos{2π(λo - λ1)·t + arktg[-th(2πλ1·t)] - π/4},                                (12)

 
где:   a2(t) = 2ch[2(λ1 - λo)·t]·Xo1.

 
Необходимое соотношение между tз и параметрами управления получим после необходимых вычислений из граничного условия.

Wст = 2π/[tз·(4 - h1)]
 

или при   h1 → 0   получим:       Wст = π/(2·tз).

То есть, по существу должно выполняться соотношение, аналогичное действующему при работе параметрических усилителей в режиме бегущей волны. Соотношение, определённое экспериментально ещё Мандельштамом и Папалекси [8] и выводимое из Wст = 2π·λo .

Это соотношение заключается в равенстве   f·τ = 1, где  τ   - время свободного пробега электронов. В нашем случае tз  есть τ/4. Поэтому  f·4·tз = 1   или:   Wст = π/(2·tз).

Таким образом, получаем алгоритм вычисления оптимальных коэффициентов при законе управления:
 

My = [K1·(1 + ho·cos(2·Wст·t)) + Ko1] ·θ + (Ko2 + K2θ.
 

И при  ho  = 0,62089 в зависимости от требуемого времени управления -

(1) определяем стабилизационную частоту:  Wст = π/(2·tз);

(2) определяем коэффициент демпфирования:  λo = Wст/2π;

(3) определяем коэффициенты: Ko1 + K1 = J·λo2·(1 + 4·π2);

(4) определяем коэффициенты: Ko2 + K2 = 2·J·λo.

 
Учёт собственных неизвестных коэффициентов Ko1 и Ko2 можно произвести путём корректировки первоначально рассчитанных по п.п. 3 и 4 коэффициентов по фактически измеренной  Wст  в процессе реального управления при  ho = 0. 

Такая корректировка, по существу, реализует механизм параметрической адаптации, обеспечивающий окончательную оптимизацию управления в рамках предлагаемого алгоритма [5]и, в общем, подтверждает правоту высказывания Р. Л. Стратоновича по вопросу существования оптимальных адаптивных систем:

Теория адаптации, если она и существует как нечто определённое, является, без сомнения, ветвью математической статистики и теории оптимальных статистических решений» [9].

На Рис. 2, 2а приведены графики решений, полученных с использованием этого алгоритма для  tз = 80 сек при Xo1 = 0,1 рад.

На Рис 2 - графики аналитического решения (12) и My, построенные с помощью стандартной программы MCAD, а на Рис. 2а, для сравнения, - соответствующие графики численного решения уравнения (2). (Эти и далее графики выполнены при Ko1 = 0,  Ko2 = 0).

Из графиков следует почти полное соответствие аналитического и численного решений. Аналитическое решение, кроме этого, должно совпадать с общеизвестным решением в предельном переходе при  h1 → 0, то есть, с решением вида:

X1(t) = Xo1·e-λo·t·cos(Wст·t).
 

На Рис. 3 показано их полное совпадение.

Однако, численное решение уравнения (2) при этих же условиях не на много хуже решений, изображённых на Рис. 2, 2а (хуже - только точность стабилизации). Это говорит об оптимальности вычисленных коэффициентов и при стандартном законе управления:

My
= K1·X + K2·X.

Графики, построенные для меньших времён управления, например 40 сек, Рис. 4, 4а, свидетельствуют о неизменной точности стабилизации. Кроме того, остаются неизменными энергетические затраты на управление (этот факт можно оценить по площади, образуемой графиком My и осью абсцисс).

Таким образом, из всего вышеизложенного следует, что найден способ абсолютной минимизации СКО, означающий, по существу, приведение системы в точку бифуркации, что обеспечивает построение предельно простого алгоритма вычисления и адаптивной настройки коэффициентов оптимального управления, оптимальность которого не противоречит с точки зрения всех её требований. По сравнению с традиционным управлением, такое управление обеспечивает повышение точности стабилизации на 5 ÷ 6 порядков и уменьшение в 2 ÷ 5 раз времени управления и энергозатрат. При этом имеет место независимость энергозатрат и точности стабилизации от времени управления.
 
 
 

 



 

 

 







       
 

 



 

              



    
 



 

   
Литература
 

1. Основы автоматического управления. Под ред. В.С. Пугачёва. М., «Наука», 1968г.

2. Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколов. Управление колебаниями. М., «Наука», 1980г.

3. П.В. Харитонов. «Об ограничении тепловыми шумами предельной чувствительности ротационного гравитационного градиентометра с параметрической модуляцией коэффициента обратной связи» // Журнал «Гироскопия и навигация». Вып. 2, 1993г. ЦНИИ Электроприбор, г. Санкт-Петербург.

4. М.Ф. Диментберг. «Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами». М., «Наука», 1989г.

5. П.В. Харитонов. GO5D 1/40. Решение экспертизы от 24.10.94г. о выдаче Патента на изобретение по заявке ? 5065696/22/039957 от 24.08.92г. «Способ управления с параметрической адаптацией».

6. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., «Наука», 1974г.

7. П.С. Ланда. «Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы». М., «Наука», 1980г., стр. 45.

8. Л.И. Мандельштам. Лекции по теории колебаний. М., «Наука», 1972г.

9. Р.Л. Стратонович, Я.З. Цыпкин. // Журнал «Автоматика и телемеханика», ?1, 1968г.

 

30.01.95
 
 

Харитонов Павел Викторович, - инженер-физик, действительный член Русского Физического Общества (1995)

 

 

 

 

 

« назад

Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 89, Выпуск № 2 (2017г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 89, Выпуск № 1 (2017г.)
ЖРФМ, 2016, № 1-12 (ЖРФХО, Т. 88, вып. № 4)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 3 (2016г.)
Шпеньков Г.П. Динамическая модель элементарных частиц. Видео лекция
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 2 (2016г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 1 (2016г.)
Журнал
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 87, Выпуск № 3 (2015г.)
Журнал Русской Физической Мысли, 2015, № 1-12
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 87, Выпуск № 2 (2015г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества ЖРФХО, Том 87, Выпуск № 1 (2015г.)
Энциклопедия Русской Мысли. Том 24
Энциклопедия Русской Мысли. Том 23
Энциклопедия Русской Мысли. Том 22
Энциклопедия Русской Мысли. Том 21
Армянская секция Русского Физического Общества
Энциклопедия Русской мысли. Том 20
Энциклопедия Русской мысли. Том 19
Энциклопедия русской Мысли. Том 18
Энциклопедия русской Мысли. Том 16
Энциклопедия русской Мысли. Том 15
Энциклопедия Русской Мысли. Том 14
Энциклопедия Русской Мысли. Том XIII
Украинская секция Русского Физического Общества
Санкт-Петербургская секция Русского Физического Общества
Иркутская секция Русского Физического Общества
Новосибирская секция Русского Физического Общества
Катрен 12. ГМО - ГЕНОФАШИЗМ
Водородное топливо Юрия Краснова
Алиев А.С. Российская астрономия. Часть 2. - 2011г.
Жигалов В.А. Уничтожение торсинных исследований в России
ЭРМ 12: Колесников И.В. Природа глобальных катаклизмов. - 2010 г.
Алиев А.С. Российская астрономия. - 2010 г.
Открытое Заявление Президента Русского Физического Общества Родионова В.Г. Президенту Российской Федерации Медведеву Д.А.
ЭРМ 11: Оше А.И. Поиск единства законов природы (Инварианты в природе и их природа). - 2010 г.
ЭРМ 10: Петракович Г.Н. Биополе без тайн. Сборник научных работ. - 2009 г.
ЭРМ 1: Гриневич Г.С. Праславянская письменность. Результаты дешифровки. Том 1. - 1993 г.
ЭРМ 6: Хачатуров Е.Н. Элиминация значительной части ДНК... - 1995 г.
ЭРМ 3: Иванов Ю.Н., Иванова Н.М. Жизнь по интуиции. - 1994 г.
ЭРМ 4: Гудзь-Марков А.В. Индоевропейская история Евразии. Происхождение славянского мира. - 1994 г.
Два открытия
Официальный доклад Аполлон-11. Лунные карты составлены безграмотно
Ральф Рене. Как NASA показало Америке Луну
НЛО: соседи по Солнцу.16.05.2011
Бутусов. Раджа Солнце. Глория. 9.01.2012
Катрен 18. Технология спаивания
Фильм С. Веретенникова
Энциклопедия русской Мысли. Том 17

Ссылки:

rodionov@rusphysics.ru - ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК РЕДАКЦИИ ЖУРНАЛА "ЖУРНАЛ РУССКОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ МЫСЛИ"
Главный редактор Родионов В.Г.
Денежные пожертвования направлять в Сбербанк РФ на карточку № 63900240 9014875013.


Rambler's Top100