“Salus populi suprema lex est”
Международное общественное объединение

1872 - 2017

Russian Physical Society, International

Международное общественное объединение Русское Физическое Общество (сокращённо – РусФО, RusPhS) - добровольное объединение учёных, инженерно-технической интеллигенции, изобретателей, предпринимателей для совместной интеллектуальной и научно-практической деятельности в области естествознания, - науки о природе.
Научная цель: построение единой физической картины мира и поиск основной целевой функции человечества.

Лузин Н.Н.: письма к В.И. Вернадскому (1931-1940гг.)


ИЗ АРХИВА РУССКОЙ МЫСЛИ

 

Н. Н. ЛУЗИН: ПИСЬМА К В. И. ВЕРНАДСКОМУ
(Архив АН СССР, Моск. отдел, фонд 518, опись 3, ед. хран. 995)
 

Н. Н. Лузин (1883-1950), выдающийся русский математик, предстаёт в тех письмах к В. И. Вернадскому, которые публикуются ниже, как крупный философский мыслитель. Он вместе с П. А. Флоренским вышел из рядов Московской математической школы, основателем которой был Н. В. Бугаев (1837-1903). Здесь, вероятно, нет необходимости перечислять его математические результаты, о которых читатель может получить сведения из энциклопедических источников. Скажем только, что они охватывают такие области математики, как дескриптивная теория функций (Лузин - один из создателей теории), важные разделы теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии, некоторые проблемы теории меры, многие вопросы, лежащие на стыке с другими областями исследований.

Что касается мировоззренческого духа, который вынес Лузин из Московской школы, то он очень ярко представлен в книге П. А. Некрасова «Московская философско-математическая школа и её основатели» [14; 3-249]. Некрасов называет её философско-математической неслучайно. Ведь в ней царили такие философские идеи, которые очень благотворно сказывались на математическом творчестве. Главная из них - решительный отказ от построения математики на эмпирическом базисе. Определяя такой критерий математического исследования, как точность, Некрасов писал: «Эта точность в основе своей имеет всегда очевидность, но не одну только сенсуалистическую (чувственную, эмпирическую) очевидность, а и критическую, которая вырабатываясь чистым сознанием, является продуктом сопоставления и синтеза многочисленных простых элементов и, в то же время, вносит в них гармонический порядок. Критическая синтетическая очевидность приобретается всегда лишь с большим трудом, и её нужно отличать от очевидности так называемых «популярных» quаsi-точных познаний» [14; 12].

Другая важная идея - идея прерывности как элемент миросозерцания и аритмологии (теории разрывных функций) (см. об этом публикацию С. С. Демидова и А. Н. Паршина [15; 159-181]). С ней в тесной связи стоит концепция дальнодействия, ставящая под сомнение универсальный характер описания всех природных процессов в рамках принципа близкодействия. (Последний, как известно, постулирует невозможность распространения в пространстве каких бы то ни было сигналов со скоростями, превосходящими скорость света, не говоря уже о возможности мгновенных влияний). В 1931 году незадолго до того, как В. И. Вернадский получил от Лузина первое из перечисленных ниже писем, он записал в дневнике: «Принцип предельной скорости. Если его развить, то возможно допустить существование явлений, скорость которых больше скорости света.

Принцип предельной скорости указывает, что в данной среде скорость какого-нибудь явления не может превышать некоторого предела, при котором явление разрушает среду» [16; 92]. Здесь Вернадский имеет в виду среду материальную или эфирную. Если же допустить, указывает он, что есть ряд явлений, которые происходят не в материальной и не в эфирной среде, - для них может существовать скорость большая, чем скорость света. И тут он ставит вопрос о сверхсветовой передаче мыслей (16; 92]. Проводником сверхсветовой передачи мысли Вернадский считал, по всей видимости, не какую-либо среду в пространстве, а само пространство. Отсюда задача изучения структуры пространства и времени: «Изучение их строения является сейчас основным. К полученным при этом результатам должны будут подвести свою мысль и философы, и теологи» [16; 92].
Такой образ мыслей, присущий Лузину, Вернадскому, Флоренскому, был чужд адептам вульгарного материализма (марксизма) и социологизма в науке. Выпад против Лузина с позиции господствующей до недавнего времени в нашей стране марксистской идеологии мог для него в 30-х годах кончиться очень печально. Об этом свидетельствует письмо С. А. Чаплыгина Вернадскому, которое мы публикуем вместе с письмами Лузина. К сожалению, травля Лузина была затеяна двумя известными математиками, имена которых здесь не хотелось бы упоминать.

Важно отметить другое: философский климат, царивший в Московской математической школе, не имел ничего общего с тем видом философского мракобесия, который охватил страну после революции.

Редакторы данной публикации благодарят Рэма Георгиевича Баранцева, который обнаружил данные письма в архиве Н. Н. Лузина и разрешил познакомить с ними читателей «Русской мысли».

Предисловие и примечания к письмам составлены старшим научным сотрудником Института философии РАН, кандидатом философских наук Л. Г. Антипенко.

Н. Н. ЛУЗИН - В. И. ВЕРНАДСКОМУ

12.6.31. Катастрофически быстрое развитие идей, их бешеная смена - всё это напоминает мне как бы сжатое устье какой-то большой реки, стремительно несущей свои последние волны; мне представляется, что мы находимся именно в самом устье и, ещё мгновение, куда-то низринемся. Куда? Об этом я могу лишь гадать. Вам дано видеть больше. Может быть, то будет великий океан китайской неподвижности, может быть, это будет смерть бесконечно усталой мысли, или её многотысячный сон, или какая-то совсем новая форма внутренней деятельности, или, наконец, новая наука и вместе с ней vita nuova. По-моему, чистое безумие не видеть приближающегося, не слышать громоподобного «голоса вод многих».

Странная вещь жизнь и мысль. Прежде казалось всё так ясно: вот светит солнце, синеет безоблачный купол неба, дует ласковый ветерок, колебля головками цветов, и вот казалось, что это-то и есть жизнь, и что надо быть счастливым, любить её и мыслью входить в глубь природы.

А теперь как-то чувствуешь присутствие - странное ощущение - могучих ядов, отравляющих самые истоки и чувства, и плохо отдавая себе отчёт, где же скрывается мешающее начало, начинаешь озираться вокруг.

И лишь таинственное небо с его мириадами туманностей, с катастрофической скоростью удаляющихся от нас и «навсегда закатывающихся от нашего даже умственного горизонта», - лишь оно одно показывает, что там нет ничего случайного и что наш мучительный миг отравленности мысли должен минуть как вскрик мгновенной боли, за которой мы услышим голос вечной музыки сфер.

28.6.37. Никто теперь не знает, что значит «строго доказать» в математике. Ещё недавно это могло бы казаться печальным, сейчас же это веселит, ибо, когда ум начинает заблуждаться, идя, казалось, по своему собственному строгому пути, то это означает, что что-то нужно изменить в самом уме - и это наполняет бесконечно волнующими предчувствиями новой жизни. Видимо, нужно идти путём скорее Гумбольдта и Кювье, чем Гильберта*1).
В частности, Ваш вопрос о вращениях очень глубок. Вопрос о том, имеется ли два пространства Евклида*2), одно из которых левовращающее, а другое - правовращающее? И какими безупречными аксиомами характеризовать то и другое пространство?

25.5.38. Отмечу одну сторону Вашего логического определения «Жизнь есть совокупность всех живых организмов, в данный момент в биосфере находящихся». Определение какого-либо объекта, предмета, сущности (etre) как совокупности есть манера, завоёвывающая у нас, в математике, преобладающее место в настоящее время. Я не скажу, чтобы эта манера была абсолютно новой. Я сильно невежествен в учении Фомы Аквината, но Лейбниц определял всякое количество (протяжённое, то есть длину) как совокупность бесконечно-малых элементов. В середине XIX века Г. Кантором эта манера очень ярко стала выявляться. В настоящее время математики определяют натуральный ряд как совокупность целых положительных чисел, пространство, - как совокупность точек и т.д. В математике эта тенденция прямо противоположна манере классиков (Ньютон - Эйлер - Лагранж - Лаплас - Пуанкаре), которые рассматривали такие математические определения как порочные. Они настаивали на эволюционном образовании этих концепций. С их точки зрения, натуральный ряд не есть совокупность целых положительных чисел, ибо он бесконечен, а всякая совокупность есть конечная. Поэтому они мыслили натуральный ряд, как непрестанно пополняющийся новыми и новыми элементами (за n следует n+ 1), и пространство, как развёртывающееся движением (линия как траектория). Теперь я вижу, что биогеохимия принимает точку зрения Кантора. По этому поводу, конечно, не приходится дискутировать, а следует лишь радоваться унификации знания. Но вот тревожный вопрос: эта унификация не есть ли начало конца? Ведь идея совокупности, то есть замкнутого множества, есть идея ограниченности, полной охваченности, закрытости, законченности etc. И когда мы, по Дираку, определяем физику, как совокупность экспериментов и их комбинации, то этой каталогизацией всех экспериментов физики Дирак приваливает надгробный памятник величественному зданию физики.

И я боюсь, что определение жизни, даваемое теперь в биологии, есть веяние конца. Помните: «Как путник, идущий в горах, внезапно ощущает дуновение морского ветра, ещё не видя моря, так и...» (В. С.). Конечно, такие определения научны, они необходимы, они неизбежны, они имеют рабочую ценность, но не проглядывают ли сквозь них последние усилия безнадёжно стареющей мысли, за пределами которой начало того, чего мы вообще вообразить не можем и чему ещё нет имени? Дираковское определение физики меня всегда приводило в ужас: там, где началась каталогизация творческих актов науки, там мы вступаем в александрийский период и там начало конца.

20.9.38. Вообще, философски, символ - вещь мало понятная. На первый взгляд кажется, что символ, знак, не имеет никакой действенной силы вне интеллекта, его создавшего. Но на самом деле символы, будучи вызваны к жизни силою интеллекта, далее, оторвавшись от создавшего их ума, начинают жить своей собственной жизнью и, комбинируясь между собой, являют истины, удивляющие живой интеллект, который комбинирует эти символы. Мне неизвестно, как давно была понята великая сила символа и по какому поводу. Было ли это ранее изобретения письменности или совпало с её началом. Из новых, Лейбниц с большой глубиною проник в силу символа, и сохранилось его письмо к маркизу Лопиталю, где Лейбниц пишет, что «Всё искусство творить в математике проистекает от выбора символа, и чем символ удачнее, тем он сильнее». Кстати, Лейбниц держал открытие дифференциального и интегрального исчислений под спудом в течение шести лет, в продолжение которых он искал наиболее удачную символику для этих исчислений. Зато дело его жизни было вполне выиграно и его символика без труда победила ньютонианскую. Но символы имеют, с другой стороны, слабую сторону: ничего не выражать. Такой, например, кажется многим символика в физике эйнштейнианцев, которые утопили в символах весь физический смысл явлений, так что модели Бора, благодаря конкретности, кажутся единственным отрадным явлением в физике, как и здравый смысл английских физиков.

В последние годы Гильберт захотел обосновать на символах всю математику. Целью его было освобождение от парадоксов и circulus vitiosus. Для этого он все процессы математической мысли облёк в символы и начал учить о том, что вся математика есть лишь соединение в цепи его символов и что этим избегаются circulus vitiosus'ы. Но вскоре же начались парадоксы в самой системе Гильберта и появились circulus vitiosus'ы.

Первый, кто усомнился в действенности системы Гильберта, был Лебег. Он мне в Париже в 1930 г. с возмущением говорил о попытке Гильберта и предсказывал крушение этой «новой вавилонской башни», ибо «...символы Гильберта сами по себе не имеют противоречий; и мы можем их с полной безопасностью комбинировать в сколь угодно длинные цепи, но под условием, чтобы символы эти не имели бы конкретного смысла. Едва же настанет момент, когда его символы хотят приложить к конкретности, как смысл, входящий в символы Гильберта, заставляет оживать эти мёртвые окаменелости и тогда точка пересечения различных цепей символов Гильберта прекрасно может явить и противоречие, и circulus vitiosus». Это предсказание оправдалось через несколько лет.

В новом естествознании для меня нет ничего более увлекательного, как идея космического времени и взаимоотношение жизни и пространства. Важное учение о силе символов тоже получит со временем место в нём. Я надеюсь на это.

24.1.39. Владимир Иванович, кандидаты по математике - Соболев и Колмогоров - хорошие. Я буду голосовать за них.

29.8.39. Читаю работы по теории чисел. Удивительная область, где метод нисколько не соответствует предмету! Кажется, теперь более время для углублённых работ, чем для работ, имеющих целью синтез науки. По крайней мере, когда я пытаюсь думать о нём, то становится так невероятно больно, что начинаешь понимать судьбу науки: не наука, видимо, движет жизнь, но сама есть только отражение движущейся жизни, довольно пассивное, хотя и очень глубокое. Во всяком случае, нужно выполнять долг, то есть искать нового, проверять внимательно, печатать, не спрашивая о пафосе.

22.12.39. Душевно благодарю Вас за присылку Вашей замечательной книги «Проблемы биогеохимии»... Буду искать в ней путей к восстановлению катастрофически быстро исчезающей у меня веры в положительное значение человеческого разума в недрах вселенской жизни. Совершенно ясно, что то, что выявляется в ведущейся западными державами войне - лишь цветочки, вернее, - только зародыши грядущих невыразимых дисгармоний в духовной жизни. Символ змеи, кусающий свой собственный хвост, вероятно, очень древнего происхождения, и кто знает, какое отчаяние его создало. У меня лично на сердце полная безнадёжность и лишь хочется проследить до конца за последними усилиями устремляющейся в тупик духовной жизни. Поэтому-то я с надеждою буду читать и изучать Вашу книгу, так как всё же не хочется верить, чтобы путь знания был априори порочен.

8.7.40. Мне очень тяжело и грустно утратить непрерывность духовного общения с Вами. Сейчас таковое нужнее всего и не только для меня лично, но и объективно, для науки - хотя бы...

Понятие науки изменяется. Истинная наука - дело живого творящего духа, не оторванного от жизни, но живущего и творящего в глубине жизни. Классическая манера является лишь путами, связывающими творчество. Так, если мы под давлением классических манер (хороших в своё время) откажемся от глубочайших и тончайших исследований - истинно научных - о правизне и левизне, о числе измерений пространства, и замкнёмся на формально-математических исследованиях классиков ala Марков А. A.*1), мы не очень двинемся вперёд по пути истинной науки.

Лично я думаю, что число измерений пространства - вещь очень, очень тонкая. Вероятно, истинное пространство - просто безмерно. Но с идеей числа измерений связаны глубочайшие проникновения в теорию целых чисел. Сейчас у меня создаётся вот такая картина: свойства натуральных чисел бывают двух родов: индуктивные и неиндуктивные*2). Официальная теория чисел свойства второго рода не признаёт. По её мнению, все свойства натуральных чисел индуктивны, то есть могут быть доказаны «математической индукцией», иначе говоря, рассуждением от n к n+ 1. Лично я этого не думаю и, по-моему, свойства второго рода вполне реальны. Может быть, утраченные методы Ферма и Френеля также были неиндуктивной природы.

Я думаю, что смутное, очень трудное, созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел *3)... . Это своеобразный метод, природа которого не разведана, которым надо идти и который отнюдь не связан с определённым числом измерений реального пространства. Таковое мне представляется бесконечно глубоким понятием и вполне безмерным.

30.10.40. У меня ведь так теперь немного моих учителей и старших коллег, с именами которых связаны лучшие движения ума и сердца моей молодости - кроме Вас, лишь А. Н. Крылов, С. А. Чаплыгин, Д. М. Петрушевский...

... Несколько слов об Эйнштейне. Лично я холодно поглядываю на его теории. Ибо есть в них безусловно разрушительная отрицательная сторона. Это - принципиальное отрицание единого мирового времени. Эйнштейн априори принципиально запрещает спрашивать: «А что в этот миг происходит на Сириусе?»... Это отчётливое запрещение и принципиальное отрицание всеобщего времени тяжко ложится на мысль учёного, мыслителя, философа и натуралиста. И если как следует провести это в сознание, то это ужасно! Сказать, ala Эйнштейн легко, но вывести все следствия - ужасно! Сближая точки Pl и Р2 и помещая их в левом и правом полушариях мозга физика, мы, как будто уничтожаем идею даже локального времени...*1).

В идеях Эйнштейна есть многое, относящееся скорее к «министерству пропаганды», чем к скромной добросовестной мысли учёного. Эйнштейна я видел лично, в институте Анри Пуанкаре, на улице Пьера Кюри. Я был туда приглашён Борелем на закрытое сообщение. Собралось 30 человек - серьёзнейшие люди, вроде Картана. И вот самое тяжёлое в этом сообщении было предельное самодовольство лектора, самовосхваление, далёкое от серьёзной строгости и граничащее с ребячеством. А ведь в своё время я слышал лично J. J. Tompson'a в Кембридже. Он был очень стар и очень серьёзен. Его сообщение было чарующим...

Относясь холодно к идеям Эйнштейна, я, как учёный, не могу не видеть в них какой-то загадки, понять которую не могу. Дело в том, что, при всей принципиальной шаткости идей Эйнштейна, дело часто поворачивается так, что формулы, выведенные из теорий Эйнштейна, эмпирически оказываются верными. Это для меня самая большая загадка.

С. А. ЧАПЛЫГИН - В. И. ВЕРНАДСКОМУ.
11.7.36.

Статья о Лузине прямо возмутительна: пусть он погрешил в оценке того или другого учёного, того или другого претендента на учёную степень, учёное звание; но как отсюда делать выводы о вредительстве?! Что касается обвинений в фашизме, проскальзывающих в статье, в принадлежности к старой московской реакционной школе математиков, то я этого уже совсем не понимаю... Остаётся критическая оценка научных работ Лузина. Но по этому поводу приходится сказать только то, что здесь вполне обнаружилась полная несостоятельность авторов, доказывающая малое и поверхностное знакомство с его работами, их сознательное искажение правильной оценки... Авторитет его несравним с авторитетом Хинчина, который ему противопоставляется. Но что делать теперь? Как помочь Н. Н.? Я сделал пока одно: послал телеграмму Н. Н., копию которой прилагаю. -

«Поражён неожиданными совершенно незаслуженными газетными нападками на Вас. Ваш высокий всемирно признанный научный авторитет не может быть поколеблен. Твёрдо надеюсь, что Вы найдёте в себе силы спокойно отнестись к малоавторитетной критике Ваших трудов. О совершенно необоснованных обвинениях другого порядка не говорю».

***

КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ПИСЬМАМ

28.06.37.
*1) В данном случае речь идёт о программе формализации математики, выдвинутой ещё в начале 900-х годов Д. Гильбертом. Как известно, программа эта потерпела крах в результате доказанных в 1931 году австрийским математиком К. Гёделем теорем о неполноте формализованной арифметики и родственных ей формальных систем. Н. Н. Лузин критиковал гильбертову программу независимо от открытий Гёделя, хотя приходил в своих выводах по сути дела к тем же результатам, что и Гёдель. В 1933 г. он писал о ней как о теории, имеющей некоторые привлекательные стороны по сравнению с интуиционистской программой ревизии всей математики, сформулированной Брауэром [1; 29-30]. Но в целом оценка Лузиным формализма Гильберта - так кратко называют гильбертову теорию формализации - была отрицательной. Об этом свидетельствуют следующие его размышления:

Относительно же самого существа теории Гильберта какие-либо суждения еще затруднительны, ввиду отсутствия полных о ней сведений. Наиболее деликатным моментом является, без сомнения, вопрос о petitio principii: избегнуто ли это? Без сомнения, некоторые движения нашей мысли могут быть «формализованы», то есть отмечены символом. Гильберт говорит о превращении в символы всякой математической мысли. Без сомнения, мы имеем возможность оперировать живой мыслью, непосредственным (несимволизированным) рассуждением над этими символами, как бы над некоторыми окаменелыми остатками некогда также живой мысли. Нет сомнения, далее, что мы, как это делается в теории инвариантов, можем приходить, принимая во внимание форму и вид этих символов, к определённым заключениям о возможности или невозможности иметь «правильное» сочетание этих символов, оканчивающееся фигурой 1 = 0. Нет сомнения, что всё это можно проделать без petitio рrinсiрii. Но когда мы хотим вывести отсюда определённые заключения об отсутствии противоречия в живой мысли внутри её самой, мы должны оживить эти окаменелости, превратив их в процессы живой мысли. Имеется ли гарантия, что на некотором месте ожившего узора мы не встретим конфликта живой мысли с самою собою. [1; 30-31].

По замыслу Гильберта формализованный вариант арифметики выступал образцом для всякой аксиоматизируемой математической теории в том смысле, что полагаемая в её основание система аксиом удовлетворяла бы требованиям полноты и непротиворечивости. Противоречивая система аксиом страдает, естественно, несостоятельными выводами, которые можно представить наглядным образом в виде неправомерного равенства 1 = 0. Гёдель в своих теоремах неполноты показал, что в рамках тех финитных средств, которыми разрешает пользоваться Гильберт, нельзя доказать непротиворечивость арифметических аксиом. Из допущения же, что система арифметических аксиом непротиворечива, следует, что она неполна.

*2) Вопрос о двух пространствах - левовращающем и правовращающем - возник у В. И. Вернадского в связи с открытием оптически активных веществ, называемых изомерами. Простейшие зеркальные изомеры - это левовращающие и правовращающие молекулы органических и неорганических веществ. Вернадского интересовало то обстоятельство, что в наблюдаемом нами биоорганическом мире нарушена эта самая зеркальная, или киральная, симметрия: в противоположность неживой природе в биосфере используются практически только левые молекулы аминокислот и только правые молекулы сахаров, но не их зеркальные двойники. Отсюда Вернадский делал вывод, что пространство косной, неживой, материи и пространство живого вещества различаются между собой: первое - симметрично (однородно и изотропно), второе - диссимметрично.

Описание различия между зеркальными двойниками на языке пространственных различий ставило вопрос, во-первых, о существовании соответственно двух видов пространства и, во-вторых, о взаимоотношении между ними. Обнаружение в окружающем мире таких предметов, которые мы называем зеркальными двойниками, свидетельствует о том, что если киральные пространства существуют, - они должны как-то проникать друг в друга. Когда в рамках Эрлангенской программы обоснования геометрии, сформулированной Ф. Клейном в1872 г., стали изучать метрику гиперболического пространства, конструируемого по законам неевклидовой геометрии Лобачевского, и эллиптического пространства геометрии Римана, выяснилось, что если метрические величины (линейная протяжённость) в первом случае вещественны, во втором - они мнимы. (Переход к вещественной метрике пространства Римана совершается путём умножения мнимых метрических величин на мнимый коэффициент).

Взаимопроникновение этих двух видов пространств означало бы, что наше реальное пространство математически описывается как множество действительных и мнимых точек, причём, каждой действительной точке в гиперболическом «разрезе» единого пространства соответствует мнимая точка в эллиптическом «разрезе», и наоборот.

Мы указываем на взаимоотношение гиперболического и эллиптического пространств. Но помимо этих пространств геометрия изучает ещё и параболическое пространство, то есть привычное для нас плоское евклидово пространство. Параболическое пространство не имеет того свойства двойственности, которым обладают в отношении друг с другом гиперболическое и эллиптическое пространства, так как мероопределение плоской геометрии представляет собой частный, вырожденный случай мероопределения эллиптической геометрии. Точнее можно сказать, что параболическое пространство соответствует граничному случаю между двумя остальными видами пространства [2; 253-303].

Ввиду этих обстоятельств, хотя вопрос о существовании двух изомерных евклидовых пространств отпадает, но вся проблема в целом, поставленная Лузиным, имеет огромное научное значение. Оказывается, что простейшим, элементарным аналогом различия между физическими изомерами в геометрии служит различие между действительной и мнимой точками. Это становится особенно ясно после знакомства с геометрическими исследованиями П. А. Флоренского, в частности, - с его книгой «Мнимости в геометрии» [3]. Флоренский отмечал, что само понятие двойственности пространства имеет смысл лишь при том условии, что реальное пространство в котором мы живём, является искривлённым. Тогда его зеркальный образ и прообраз могут быть описаны словами «вне» и «внутри», и разница между понятиям и внешнего, и внутреннего приобретает абсолютное значение. В частности, в случае двухмерного пространства различие между двумя сторонами поверхности не может не быть условным, относительным, если данная поверхность представляет собой плоскость. «Но у кривой поверхности,- писал он, - различение сторон не условно, а лежит в природе самой поверхности. «Вне» и «внутри» в этом случае вполне определено и не зависит от нашего произвола, будучи обусловлено знаком средней кривизны на той и на другой стороне поверхности» [4; 88].

25.05.38
*1) Лузин здесь говорит о тенденции переноса всего научного знания, в том числе и математики, на эмпирические, позитивные, или, в плане философской доктрины, - позитивистские основания. В зависимости от того, какой вид чувственной реальности - внутренней или внешней - полагался в основу математической деятельности, эмпиризм в математике разделился, начиная с 10-х годов текущего XX столетия, на интуиционизм и конструктивизм вместе с формализмом Д. Гильберта. Интуиционизм, родоначальником которого был голландский математик Брауэр, апеллировал к внутреннему чувству потока сознания человека, в котором проявляется течение времени. Интуиционизм отбрасывает, по словам Брауэра ту предпосылку упорядочения нашей чувственной деятельности, которую Кант видел в пространстве, но остаётся решительным сторонником априорности времени [5; 127-128]. А вот различие между интуиционизмом и формализмом Брауэр выразил, исходя из понятия математических законов, именно:

«Вопрос относительно того, на каких основаниях базируется неоспоримая точность математических законов, был в течение столетий предметом философского исследования, и здесь можно различать две точки зрения: интуиционизм (большей частью французский) и формализм (большей частью немецкий). Во многих отношениях эти две точки зрения получили черты противоположности друг другу; но в течение последних лет они достигли согласия в том, что точная общезначимость математических законов, как законов природы, несомненна. На вопрос же, где существует математическая точность, - обе стороны отвечают по-разному; интуиционист говорит: в человеческом интеллекте, формалист говорит: на бумаге» [5; 125].

Что касается конструктивизма, то он представляет собой вульгарно-материалистическую версию интуиционизма и формализма одновременно. Такая версия применительно к формализму Гильберта раскрыта, например, П. К. Рашевским в статье «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса [6]. «В глубочайших своих основах, - писал Рашевский, - теория Гильберта апеллирует - по своему объективному смыслу - к материальному опыту, так как она рекомендует обращаться с логико-математическими знаками, в конечном счёте, просто так, как если бы это были предметы материального мира. А это становится возможным лишь в связи со строгой конечностью всех комбинаций, в которых логико-математические знаки встречаются в связи с возможностью до конца рассмотреть, перебрать каждую такую комбинацию. Поэтому так называемая «конечная установка» Гильберта и играет столь существенную роль в его теории» [6; 48-49].

И интуиционизм, и конструктивизм (с формализмом дело обстоит чуть-чуть посложнее) отвергают существование актуальной бесконечности в математике, довольствуясь так называемой абстракцией потенциальной осуществимости или потенциальной бесконечности. Лузин придерживался, конечно, платонистского мировоззрения в математике, но он критически относился к предложенному Г. Кантором способу выхода в область трансфинитных объектов (трансфинитных чисел). Когда речь идёт о бесконечности, писал он, только натуральный ряд целых положительных чисел 1, 2, 3, 4, ... даёт совершенно ясное и положительное изображение. «Понятие несчётной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства «от противного», не соответствует никакой достижимой реальности и меняется «от поля к полю» [7; 441]. Речь идёт здесь о поле условно принятых законов математического исследования, и, следовательно, об условности существования тех или иных объектов по отношению к такому полю.

Поясним приведённую мысль Лузина на конкретном примере. Если мы располагаем, например, вполне упорядоченным бесконечным множеством  а1, а2, ..., аn, ..., то, согласно Лузину, мы имеем право рассматривать его в качестве актуально заданного и характеризовать бесконечным порядковым числом ω, потому что оно подобно натуральному ряду чисел  1, 2, ..., n, ..., с тем же порядковым числом. Но допустим теперь, что мы имеем такой вид порядка на бесконечном множестве:

а1, а2, ..., аn, ...; b1, b2, ...

Тогда, согласно канторов ой теории множеств, множество  а1, а2, ..., аn, ..., b1  будет характеризоваться порядковым числом (ω + 1), множеству  аl, а2, ..., аn, ..., b1, b2 мы поставим в соответствие порядковое число (ω + 2), и т. д. Приходится соглашаться, что каждое из этих множеств счётно, но вот какая, по автору, здесь возникает трудность: чтобы констатировать для нас самих, что рассматриваемое вполне упорядоченное множество счётно, необходимо уже иметь представление о трансфинитном числе, соответствующем этому множеству; и без такого представления не обойтись. «В природе нет конкретных вполне упорядоченных множеств, которые соответствуют трансфинитным числам, превосходящим ω; такое множество есть всегда вторичный результат активности человеческого ума. Таким образом, всякое усилие, сделанное для того, чтобы подставить вместо трансфинитного числа вполне упорядоченное счётное множество, предполагая его счётность констатированной, располагает вещи в порядке, противоположном тому, которому нужно было бы следовать, и является в некотором смысле petitio principii». [7; 33].

Другими словами, если мы хотим судить о том, что существует ли, скажем, счётное упорядоченное множество

а1, а2, ..., аn, ...; b1, b2, ..., bν,

- мы должны априори полагать, что существует трансфинитное кардинальное число ων. Но тогда возникает и следующий вопрос: на чём же основана уверенность в актуальном существовании натурального ряда чисел  1, 2, ..., n, ..., характеризуемого числом ω? Ведь в природе мы не найдём и такого вполне упорядоченного множества. Ответ, даваемый на этот вопрос представителями московской математической школы, из которой вышел Н. Н. Лузин, состоит в том, что актуально заданный ряд натуральных чисел представляет собой на языке математики связь между чувственной (эмпирической) и сверхчувственной реальностями.

С этой точки зрения эмпиризм в математике является, в конечном счёте, порочной тенденцией в развитии этой науки, ибо заведомо отграничивает творческую мысль математика от идеальных объектов сверхчувственной внеэмпирической интуиции.

8.07.40
*1) А. А. Марков (1903-1979) считается создателем школы конструктивной математики в СССР.
*2) Открытие неиндуктивных свойств натуральных чисел связано непосредственно с созданием не-архимедова анализа математики. Их выявление обусловлено открытием нестандартных моделей арифметики. Здесь не место обсуждать полный спектр вопросов о взаимоотношениях формальных систем и тех моделей, на которых они интерпретируются. Скажем только следующее. Поскольку формальная система получается, как правило, в результате формализации (и аксиоматизации, конечно) некоторых разделов обычной неформальной или полуформальной математики, то знаки (символы), формулы и прочие элементы такой формальной системы истолковываются (интерпретируются) в терминах соответствующей неформальной или полуформальной математической дисциплины. Совокупность значений, приписанных таким образом символам, формулам и прочим элементам формальной системы, называется её (подразумеваемой, или естественной) интерпретацией.

Если формальная или полуформальная аксиоматика описывает какой-то раздел содержательной математики достаточно полно, так что данный раздел служит единственной моделью в качестве интерпретации, тогда аксиоматика называется категоричной. (Свойство категоричности не исключает того обстоятельства, что единственность модели задаётся с точностью до изоморфизма: все изоморфные модели отождествляются между собою. Как известно, полуформальная система арифметических аксиом Пеано считается полной в смысле категоричности. Но она неизбежно становится не категоричной при формализации. Высказывание «формальная арифметика неполна в смысле теорем неполноты Гёделя» имеет ещё и тот смысл, что формализованной аксиоматике Пеано удовлетворяют, по крайней мере, две разные модели: одна обычная, или стандартная, и одна нестандартная.

Нестандартная модель арифметики и легла в основу нестандартного, или неархимедова анализа, описывающего не-индуктивные свойства чисел.

Главная цель интерпретации формальной аксиоматики состоит в том, чтобы, установив её формальную непротиворечивость, выяснить затем, насколько она полна, то есть насколько множество доказуемых утверждений-формул соответствует множеству содержательно истинных высказываний, или теорем формализуемой дисциплины. Если формальная аксиоматическая система противоречива, то она тривиально полна, то есть из неё можно вывести любое утверждение (истинное и ложное), выразимое на её языке.

В 1931 г. К. Гёдель доказал две теоремы (теоремы неполноты), которые гласят:

1) если формальная система арифметики непротиворечива, то она неполна, то есть на её языке может быть представлено такое утверждение, которое содержательно истинно, но недоказуемо средствами данной системы;

2) доказать внутренними средствами формальной арифметической аксиоматики её непротиворечивость невозможно.

В центре этих теорем оказались как раз индуктивное определение натурального числа и принцип (аксиома) математической индукции. Напомним формулировку этих положений. «Рабочая» формулировка принципа математической индукции сводится к следующему: утверждение справедливо для всякого натурального числа n, если: (1) оно справедливо для n = 1 (или n = 0) и (2) из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует его справедливость для n = k + 1.

В такой формулировке принцип математической индукции является, по существу, следствием индуктивного определения натурального числа, состоящего из трёх пунктов: (1) 1 (или 0) является натуральным числом; (2) если n - натуральное число, то следующее за n, то есть  n' = n + 1 - тоже натуральное число; (3) никаких других чисел, кроме тех, которые получаются согласно (1) и (2), нет.

В формальной арифметической аксиоматике принцип математической индукции даётся в виде следующей аксиомной схемы (в дальнейшем для краткости будем называть её просто аксиомой): 

{А(1) & ∀ n (А(n) ⊃ A(n'))} ⊃ ∀ xA(x)

Теперь оказывается, что данная аксиома может выступать в ряду других аксиом Формальной арифметики в двойном обличье: (1) в качестве математической гипотезы; (2) в качестве математической теоремы. Разъясним, что здесь понимается под гипотезой и теоремой. Гипотеза - это такое утверждение относительно множества объектов, которое заведомо верно для каждого элемента собственного подмножества этого множества, но неизвестно, справедливо ли оно для любого элемента множества [8; 27-28]. (Мы называем непустое подмножество М множества N собственным, если оно не совпадает c cамим N). Если исходное множество конечно, тогда процедура, с помощью которой гипотеза превращается в теорему, или отбрасывается как ложная, сводится к проверке каждого элемента множества. Если же исходное множество является бесконечным, тогда для превращения гипотезы в теорему прибегают к средствам математической индукции или к методу доказательства от противного или ещё к каким-то другим методам, признанным общезначимыми.

Допустим теперь, что мы имеем некоторую гипотезу, состоящую в утверждении А относительно множества натуральных чисел 1, 2, 3, ..., n, ... . Допустим далее, что эта гипотеза подтверждается методом математической индукции, так что оказываются верными все утверждения вида А(l), А(2), ..., А(n), ... . Тогда гипотеза А окажется теоремой, если рассматриваемое множество числовых объектов образуется строго в соответствии с определением натурального числа, даваемого в трёх пунктах, и останется гипотезой, если в исследуемом множестве окажутся некоторые «чужеродные» элементы. В последнем случае смысл квантора «для всякого» не будет совпадать со смыслом квантора «для всех», и допустима ситуация, когда окажутся верными утверждения такого рода:

А(l), А(2), ..., А(n), ...; ∀ хА(х),

то есть истинны все утверждения А (1), А (2), ..., А(n), ..., и в то же время утверждение А истинно не для всех объектов рассматриваемого множества. Поскольку такая ситуация не приводит к несовместимости или противоречивости формальной арифметической системы аксиом, она даёт право ввести в рассмотрение нестандартную интерпретацию формальной арифметики наряду со стандартной.

(О различии и тождестве понятий совместимости и непротиворечивости см. в работе В.А. Успенского [9; 75-79]).

При нестандартной интерпретации арифметики множество числовых объектов, родственных натуральным числам, расширяется так, что для него аксиома индукции оказывается неверной. Суть расширения состоит в том, что язык формальной системы арифметики дополняется нуль-местным символом (термом)  с , который при интерпретации удовлетворяет условию  с > 0, с > 1, ..., с > n, ... и пополняет формальную систему счётным множеством соответствующих формул. Число с оказывается, таким образом, больше любого конечного натурального числа и поэтому называется бесконечным. Оно влечёт за собой множество бесконечных некванторовых чисел  с + 1, с + 2, ..., с + n, ..., которым присвоено название гипернатуральных чисел.

Исходя из этих даже беглых замечаний, можно уже кое-что сказать о дихотомии индуктивных и не-индуктивных свойств целых положительных чисел (или целых неотрицательных чисел). Ясно, что индуктивные свойства этих чисел выявляются в их внутренних взаимоотношениях. Неиндуктивные свойства могут быть раскрыты в их взаимоотношениях с гипернатуральными (бесконечными) числами. Как известно, многие свойства натуральных чисел удаётся раскрыть в аналитической теории чисел, то есть средствами математического анализа. Аналогично, неиндуктивные свойства в наиболее полном объёме исследуются средствами нестандартного, или неархимедова, анализа.

Наличие бесконечно больших чисел в неархимедовом анализе автоматически приводит, с учётом известных арифметических операций, к выводу о существовании чисел бесконечной малости (достаточно, скажем, разделить единицу на бесконечно большое число, чтобы получить желаемое). Понятия бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые справедливо отождествляются с дифференциалами Лейбница, суть центральные понятия как в аксиоматике неархимедова анализа, так и неархимедовой геометрии.

Здесь недостаточно места для того, чтобы привести конкретные примеры неиндуктивных свойств чисел в рамках нестандартного анализа, но, всё же, стоит сказать несколько слов о самом анализе. На языке геометрии различие между стандартной и нестандартной аксиоматиками анализа определяется отношением к аксиоме Архимеда, называемой ещё аксиомой измерения. Как известно, она утверждает, что для любых двух отрезков (а) и (b) можно меньший из них (а) отложить столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (b). «Отложить столько» здесь непременно означает «конечное число» раз при условии, что отрезок (а) может быть сколь угодно мал: допустимо неограниченное деление его на меньшие части [10; 87].

На протяжении многовековой истории развития математики постулат Архимеда считался настолько самоочевидным, что над альтернативами ему редко кто задумывался всерьёз. В выпущенных в 1899 г. «Основаниях геометрии» Д. Гильберт изучал возможности построения неархимедовой геометрии, но не сделал попытки распространить её принципы на математический анализ. Поэтому нестандартный анализ, возникший всего лишь 2÷3 десятилетия тому назад - пока что непривычная идеология в математике, хотя её истоки восходят ещё к Лейбницу. Принципиальный момент нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые в нём рассматриваются не как переменные величины, сколь угодно приближающиеся к нулю, а как величины постоянные.

Если, скажем, ε > 0 - одна из таких величин, то определение её как числа бесконечной малости сводится к следующему. Складывая ε с самим собой, можно переходить к числам (ε + ε), (ε + ε +ε), (ε + ε +ε + ε), и т.д.

Число это будет удовлетворять понятию бесконечно малого, если все полученные из него указанным способом числа будут меньше единицы. (Из этого ясно, почему в нестандартной математике не выполняется постулат Архимеда). Если постулировать существование бесконечно малых, можно придти к выводу о существовании чисел бесконечно больших, ибо таким, в частности, будет число, обратное ε, то есть:

1 < 1/ε, (1 + 1) < 1/ε, (1 + 1 + 1) < 1/ε, ... .
 

Определяемые указанным способом бесконечно малые и бесконечно большие числа называются нестандартными в отличие от обычных, или стандартных, действительных чисел. К ним применимы, с некоторыми оговорками, все законы обычных алгебраических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и т. п. Такая применимость обеспечивается особым принципом, - принципом переноса. Расширенное за счёт новых чисел поле действительных чисел называется полем гипердействительных чисел. Понятием гипердействительного числа объединяются таким образом числа стандартные и нестандартные, причём гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. К конечным относятся как стандартные, так и нестандартные. Если учесть, что 0 удовлетворяет определению числа бесконечной малости, то каждое конечное гипердействительное число а можно выразить в виде суммы (b + ε), где b - стандартное число, а ε - бесконечно малое. Число b называется стандартной частью конечного гипердействительного числа а, что записывается так:

b = st(a).

В заключение выделим из всего здесь сказанного и подчеркнём один очень важный момент. Может возникнуть иллюзия, что объекты нестандартного анализа - бесконечно большие и бесконечно малые числа, - могли бы быть введены в сферу математического исследования путём изобретения соответствующих логико-математических определений. На самом деле такие определения суть ничто до тех пор, пока не выяснены условия существования того, что даётся определениями. Объекты нестандартного анализа получают право на существование при открытии нестандартной модели арифметики. По мере открытия других нестандартных моделей могут быть обнаружены и исследованы другие классы неиндуктивных свойств целых положительных чисел. Вопрос изучается в теории математических моделей.

Но каждая из нестандартных моделей получает статус своего существования только в комплексе со стандартной моделью арифметики, в комплексе с аксиомой о существовании актуальной бесконечности, задаваемой в форме бесконечного ряда натуральных чисел. Критикуя финитистские установки Д. Гильберта в программе формального обоснования всей математики, Н. Н. Лузин писал, что отмежеваться от бесконечного можно тогда, когда мысль направлена на внешний мир, можно и тогда, когда она направлена на упорядочивание готовых концепций, но этого сделать нельзя, когда мысль направлена на самоё себя; сотворение концепций есть иррациональный акт: «хотеть, чтобы он был «конечным» - это значит желать, чтобы он перестал быть самим собой» [7; 516-517].

3) «Я думаю, что смутное, очень трудное созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел...».

Расшифровывая данное замечание Лузина, мы можем, используя язык нестандартного анализа, говорить о связи между гиперпространством и гипердействительными числами. Попытку проанализировать структуру такой связи сделал П. Флоренский в своей книге «Мнимости в геометрии» [3; 33]. Посмотрим, как далеко можно продвинуться в данном направлении.

Из практики геометрических исследований известно, что имеют геометры в виду, когда вводят понятие трёхмерного пространства. Обычно начинают с определения поверхностей как границ тел или кусков пространства, линий - как границ поверхностей, наконец, точек - как границ линий и устанавливают, что этот процесс не может быть проведён дальше. Он определяется в терминах последовательных переходов от одного континуума к другому до тех пор, пока не доходят до точки, не являющейся континуумом.

Ход в обратном направлении даёт возможность определить, как это делает А. Пуанкаре, континуум одного, двух и трёх измерений. Тот континуум, который разбивается на части множеством, не являющимся континуумом, - называется одномерным, тот континуум, который в свою очередь разбивается на части одномерным континуумом, называется двухмерным, от двухмерного совершается переход к трёхмерному [11; 22]. Логически можно было бы двигаться и дальше, остановка же на трёхмерном континууме, или континууме трёхмерного пространства, обусловливается эмпирическими соображениями. Их обычно не принимают в расчёт и говорят об нульмерных евклидовых пространствах, когда n = 1, 2, 3,... . Исследования континуума, проведённые Г. Кантором, показали, что множество точек на линии и множество точек на плоскости равномощны, то есть между двумя этими множествами существует взаимно однозначное соответствие. Открытие этого факта свидетельствует о том, что нельзя установить разницу между n-мерным и m-мерным (nm) евклидовыми пространствами, опираясь на понятие мощности каждого из таких множеств.

Ещё более удивительным оказалось то обстоятельство, что, как показал Пеано, существует возможность непрерывного отображения (точек) геометрического отрезка на квадрат. Ведь это наводит на вывод, что размерность пространства может возрастать при непрерывных однозначных отображениях. Если бы оказалось, что такое отображение гомеоморфно, то есть свойствами непрерывности обладают как прямое, так и обратное ему взаимно однозначные отображения, размерность пространства нельзя было бы вообще изучать топологическими методами. Чрезвычайно важный вопрос, негативный ответ на который дал Брауэр в 1911 г., состоял, как пишут авторы книги [11], в следующем: возможно ли при (n ≠ m) между n-мерным эвклидовым пространством (обычным пространством n действительных переменных) и m-мерным эвклидовым пространством установить соответствие, соединяющее свойство конструкций Кантора и Пеано, то есть соответствие, которое одновременно взаимно однозначно и непрерывно? «Этот вопрос был критическим, так как существование между n-мерным и m-мерным эвклидовыми пространствами соответствия указанного типа показало бы, что размерность (в том естественном смысле, что 0-мерное эвклидово пространство имеет размерность n) не имеет никакого топологического значения! Класс топологических отображений оказался бы, следовательно, слишком широким, для того чтобы он мог иметь какое-либо реальное применение в геометрии» [ 11; 23].

Короче говоря, геоморфизм между эвклидовыми пространствами разной размерности означал бы их топологическую неразличимость в том же смысле, в каком квадрат топологически неотличим от окружности. Однако исследованиями Брауэра 0911-1913) иЛебега (911) было окончательно установлено, что размерность эвклидова пространства не меняется при топологических преобразованиях [11; 24]. Дальнейшие попытки разобраться в свойстве пространства, соотносимом с его размерностью, были направлены на установление связи между этим свойством и метрической мерой пространственного многообразия. В теории меры, - мера множества вводится именно как понятие, обобщающее представление о длине отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. Так, скажем, плоская мера, или мера в смысле Жордана, есть не что иное, как определённая площадь квадрируемой области. Более обобщённое понятие - мера Лебега - вводится для характеристики как множеств, лежащих на плоскости, так и множеств, расположенных на прямой или в трёхмерном (или 0-мерном) пространстве. Лебеговский метод ограничения множеств аналогичен, таким образом, известному с античных времён методу квадрирования плоских фигур.

Три важнейшие свойства меры в классической теории определяются следующими высказываниями: (1) мера любого множества неотрицательна; (2) мера конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств равна сумме их мер; (3) при перемещении множества, как твёрдого тела, его мера не меняется.

Интуитивно восприятие размерности пространства коррелируется с восприятием одномерных, двухмерных и трёхмерных объектов, то есть объектов, наделённых только линейной мерой, - длиной; объектов, наделённых двумерной мерой, - площадью; и объектов, наделённых трёхмерной мерой, - объёмом. Для нас здесь важно подчеркнуть, что до исследований Флоренского, как бы ни обобщалось понятие меры, за ней всегда оставляли свойство быть неотрицательной величиной. Флоренский же показал, что мера пространственного многообразия имеет двойственный характер. Он (этот характер) выявляется уже в аналитической геометрии при определении площади плоской геометрической фигуры, скажем, треугольника. Формула, позволяющая подсчитать площадь любого треугольника по координатам его вершин, даёт либо положительную, либо отрицательную величину площади в зависимости от того, в каком направлении совершается обход вершин треугольника: соответственно против часовой стрелки или по ходу стрелки.

Эта зеркальная двойственность позволяет заключить, что зеркальным отображением геометрического отрезка, длина которого выражается положительным действительным числом, будет отрезок с мнимой длиной, а зеркальным образом нульмерного объекта - действительной точки - становится мнимая точка. Удвоение линейной меры трёхмерного пространства приводит к тому, что оно становится шестимерным, но совсем, однако, не в том смысле, что к трём известным его измерениям просто добавляются ещё три независимые измерения. Дело обстоит по-другому: каждое из трёх направлений пространства, выражаемых осями х, у, z (в декартовой системе координат) заполняется действительными и мнимыми точками. В случае двухмерного пространства и те и другие точки располагаются так, что каждой действительной точке на лицевой стороне плоскости соответствует мнимая точка на обратной стороне, и наоборот. При этом плоскость превращается в геометрический объект, толщина которого становится отличной от нуля. «Мы получаем право, - писал Флоренский, обосновывая введение мнимостей в геометрию, - ...толковать толщину плоскости как отнюдь не нулевую величину, но - актуально бесконечно малую ...» [3; 33].

При этих условиях наблюдатель, проводящий геометрические вычисления на лицевой стороне поверхности, придёт к заключению, что площадь треугольника (как и любой геометрической фигуры) есть величина положительная, поскольку линейную меру всякого отрезка он интегрирует из действительных точек поверхности. Наблюдатель, проводящий аналогичные геометрические вычисления на обратной стороне поверхности, получит мнимые отрезки и отрицательные площади геометрических фигур, поскольку он имеет дело с мнимыми точками.

Задача далее состоит в том, чтобы представить в комплексе эти две разные линейные меры и перейти от обычного пространства к гиперпространству. Назовём плоскость Флоренского, имеющую толщину, отличную от нуля, - гиперплоскостью. Тогда обычное физическое пространство окажется включённым в гиперпространство, состоящее из бесконечной совокупности гиперплоскостей, то есть плоских слоёв бесконечно малой толщины. Зеркальное преобразование такого пространственного многообразия, проводимое по какой-либо из осей декартовых координат, означало бы переход с лицевой стороны гиперповерхности на её обратную сторону в каждом слое многообразия. Или в локальном плане мы имели бы дело с выворачиванием наизнанку какого-то куска гиперповерхности.

Нетрудно далее понять, исходя из вышеизложенного, что зеркальное преобразование какой-то части пространственного многообразия, означающее, стало быть, замену действительных точек мнимыми, мнимых - действительными, эквивалентно сдвигу по данному направлению ровно на такое расстояние, на котором расположены две соседние - мнимая и действительная - точки. Вот как это можно выразить на языке математического формализма.

Рассмотрим, с учётом возможности дальнейших обобщений, четырёхмерное пространственно-временное многообразие теории относительности. Квадрат метрического элемента ds данного многообразия имеет вид:

ds2 = cdt2 - dх2 - dу2 - dz2.                                                                          (1)

Зеркальной инверсии этой величины в контексте мнимостей в геометрии будет соответствовать преобразование:

ds2 → - ds2.                                                                               (2)

По условию, оговорённому выше, инверсия (2) должна соответствовать сдвигу бесконечно малых отрезков dt, dх, dу, dz на величину бесконечной малости. Обозначим её через ε и положим для определённости  ε > 0. Пусть указанный сдвиг преобразует ds в ds'. Тогда будем иметь: 

(ds′)2 = (c·dt - ε)2 - (dx - ε)2 - (dy - ε)2 - (dz - ε)2.                                                   (3)

Если (ds')2 = - ds2 , то из этого вытекает:

-cdt2 = (cdt - ε)2, - dх2 = (dx - ε)2, - dy = (dy - ε)2, - dz2 = (dz - ε)2.

Все четыре уравнения однотипны. Поэтому достаточно рассмотреть, скажем, квадратное уравнение для dх. После преобразования оно имеет вид: 

dх2 - ε·dх + ε2/2 = 0.

Решение даёт: dxl, 2 = ε/2 (1 ± i).

Как нетрудно убедиться, модуль ρ комплексного (гипер) числа, стоящего в правой части равенства (4), равен (ε·√2/2), аргумент Θ = π/4, то есть dxl. 2 = (ε√2/2)·(cosπ/4 ± i·sinπ/4). В общем случае аргумент Θ необязательно должен быть равен π/4. Ничто не препятствует изменению величины Θ в известных пределах, а, следовательно, и изменение микроструктуры гиперпространства. Неизвестен пока способ, с помощью которого можно было бы интегрировать величину dxl, 2 = (ε√2/2)·(cos Θ ± i sin Θ), то есть выразить метрику гиперпространства с помощью комплексных чисел, имеющих конечную величину модуля. Метрические измерения, проводимые в нашем реальном мире, по необходимости складываются так, что в них пренебрегают мнимой частью dx. Напротив, в метрике зеркального мира оказывается несущественной действительная часть dx. Таким образом, удвоение координат при переходе от пространства к гиперпространству имеет место только на уровне микрокоординат.

Лузин внимательно следил за математическими и философскими исследованиями Флоренского. Оба они были пропитаны научным духом московской математической школы, и поэтому, можно думать, - интуитивные прозрения Лузина о гиперпространствах и их связи с неиндуктивными свойствами чисел близки тем соображениям, которые в более развёрнутом виде здесь представлены.

30.10.40.
1) Критика эйнштейновской теории относительности и концепции времени в ней ведётся с разных позиций. Есть критики, которые отвергают преобразования Лоренца и полагают, что всю современную физику, занятую описанием процессов, протекающих с околосветовыми скоростями, можно построить, тем не менее, на базе преобразований Галилея. Лузин, несомненно, не относился к числу таких ниспровергателей. Его критическая позиция, насколько можно видеть уже из писем, близка к той серьёзной критике теории относительности, которую привёл в одной из своих статей К. Гёдель [12; 557-562].

Сравнивая аргументы Лузина с более развёрнутой аргументацией Гёделя, можно сделать вывод о том, что среди крупнейших учёных ХХ столетия (математиков и физиков) было достигнуто некоторое единодушие в оценке абсурдной, в ряде аспектов, идеологии теории относительности.

Изложим в сжатой форме критический анализ Гёделя. Он касается, в первую очередь, релятивистской точки зрения на природу времени. Принимая во внимание инерциальные системы отсчёта специальной теории относительности, Гёдель излагает релятивистскую версию того, как воспринимается, сквозь призму Теории, временная последовательность событий наблюдателями в разных системах отсчёта. Относительность одновременности событий, говорит Гёдель, в огромной степени влечёт относительность их последовательности. Неизменный характер последовательности событий, скажем В после А, остаётся неизменным во всех системах отсчёта только в том случае, если события А и В причинно связаны друг с другом так, что А является причиной В. (Скорость передачи причинного воздействия одного события на другое не превышает, согласно теории относительности, скорости света). Во всём остальном царит полный релятивистский произвол. Одновременность событий А и В в одной системе отсчёта может фиксироваться наблюдателем в другой системе отсчёта в последовательности «А раньше В», в третьей системе - «В раньше А», не говоря уже о целом спектре различных значений отрезка времени, протекшего между А и В.

Что всё это означает с логической и физической точек зрения? Принято считать, указывает Гёдель, что всякие изменения в окружающей реальности возможны лишь благодаря течению времени. Существование же объективного течения времени эквивалентно тому факту, что реальность состоит из бесконечного количества слоёв «теперь» (сечений временного потока), которые приходят в стадию существования последовательно. «Но если, - пишет он, - одновременность есть нечто относительное в только что объяснённом смысле, реальность не может расщепиться на такие слои объективно детерминированным способом. Каждый наблюдатель имеет своё собственное множество «теперь», и ни одна из этих разных систем слоев не может претендовать на представление объективного  течения времени» [12; 558].

Могут, конечно, возразить, подытоживает свою аргументацию в этом пункте Гёдель, что относительность течения времени не исключает его объективности. Однако понятие относительного течения времени лишается того обычного понимания временного хода, который означает изменение существования. «Понятие же существования не может быть релятивизировано без того, чтобы не был полностью разрушен его смысл» [12; 5581.

Тайна «спекулятивной конструкции» теории относительности, на которой заострял внимание Лузин, состоит, с одной стороны, - в геометризации времени, а с другой - в овременении пространственной протяжённости. Эта подмена одного другим в специальной теории относительности (СТО) приобретает черты научного суррогата в общей теории относительности (ОТО), претендующей на то, чтобы быть релятивистской теорией гравитации. И, может быть, настала пора сказать об этом суррогате вслух.

Дело заключается в следующем. Совершенно правомерна попытка описать гравитационные взаимодействия по методу близкодействия с помощью поля, распространяющегося в пространстве от точки к точке со скоростью, не превышающей скорость света (в вакууме). Но совершенно порочной оказалась идея распространить эти принципы на силы инерции, отождествив последние с силами гравитации. Вероятно, последние носят локальный характер. Но этого нельзя сказать о первых. Компетентные физики всегда подчёркивают существенное различие между одними и другими. Академик Л. И. Седов писал, что по своим физическим проявлениям силы инерции эквивалентны силам тяжести. Но если руководствоваться третьим динамическим законом Ньютона о силах действия и противодействия, то силу противодействия, как реакцию на внешние силы инерции, нельзя приложить к массам и полям внутри Солнечной системы, в которой выделяется инерциальная гелиоцентрическая система координат [13; 12-13].

Нельзя, стало быть, найти адресат инерциальной силы в пределах Солнечной системы, но его не найти и в пределах нашей Галактики, и внутри Метагалактики как части эмпирически наблюдаемой Вселенной. Инерция - это стремление физических тел двигаться по геодезическим линиям, концы которых уходят за космологический горизонт Вселенной. Геометрическим аналогом космологического горизонта Вселенной служат в отношении всякой геодезической «прямой» две лежащие на ней бесконечно удалённые вещественные точки, посредством которых, с использованием двойного отношения, вводится процедура мероопределения в неевклидовой геометрии. Как уже говорилось в примечании *2) к первому письму Лузина, - вещественному значению расстояния между произвольными точками геодезической линии соответствует гиперболическая геометрия.

Геометрическая структура мира даётся нам, таким образом, в зависимости от характера метрики. Наш метрический опыт - опыт выражения пространственных расстояний вещественными числами - свидетельствует о том, что мы живём в мегамире, подчиняющемся законам гиперболической геометрии. А эти законы в свою очередь говорят о том, что наряду с наблюдаемой частью Вселенной имеется скрытая от прямого наблюдения часть. Ф. Клейн разъясняет это положение так:

«Гиперболическая геометрия наделяет прямую двумя бесконечно удалёнными точками. О том, существует ли по ту сторону обеих бесконечно удалённых точек ещё один участок прямой, дополняющий до замкнутой линии участок, лежащий в конечной области, сказать ничего нельзя, так как наши движения никогда не доводят нас до бесконечно удалённых точек, не говоря уже о том, чтобы вывести за их пределы. Во всяком случае, можно присоединить такой участок как мысленную, идеальную часть прямой линии» [2; 268].

Если вывернуть гиперболическое пространство наизнанку, мы получим эллиптическое пространство, в котором «идеальная часть прямой линии», дополняющая до замыкания на себя вещественную линию, предстанет как линия мнимая. В двух частях замкнутой линии, описываемой вещественной и мнимой метрикой, и отображается отношение между наблюдаемой и скрытой частями единой Вселенной. Локальный вариант подобного отношения изучается в астрофизике на примере шварцшильдовского уравнения, описывающего метрику пространства-времени внутри чёрной дыры: при переходе так называемой сферы Шварцшильда, служащей локальным аналогом космологического горизонта Вселенной, радиус чёрной дыры становится мнимым. То же касается и трансформации времени.

В общей теории относительности характеристики мировых линий - в первую очередь их кривизна - ставятся в зависимость от распределения и движения наблюдаемой материи. Пространство как самостоятельная сущность исчезает: оно просто превращается в характеристику состояния космологической материи. Из-за отождествления инерции и гравитации разделение инерциальных и гравитационных сил становится условным. Можно было бы ввести в ОТО понятие единого мирового времени как времени, интегрирующего местные времена всех тех наблюдателей, которые следуют в своём движении среднему движению материи. Так делают при нестационарных решениях уравнений ОТО, и тогда снова достигают сведения пространственной протяжённости ко времени по типу того, что имеет место mutatis mutаndis в СТО.

Однако, как показал Гедель, все такие решения уравнений ОТО и их интерпретации являются искусственными, натянутыми, потому что нет никакого критерия, по которому их можно было бы выделить среди более экзотических решений. Одно из них - роторное решение с расширением Вселенной - приведено самим Гёделем. В нём время оказывается замкнутым, - вывод, приводящий к абсурду. Абсурд раскрывается в возможности человека совершить путешествие в своё прошлое и внести в своё поведение в прошлом такие изменения, которые несовместимы с его памятью о прошлом [12; 561]. Разрушение же памяти человека равноценно разрушению его личности.

Такого рода критический анализ теории относительности, по-видимому, и давал основание Лузину утверждать, что в идеях Эйнштейна «...есть многое, относящееся скорее к «министерству пропаганды», чем к скромной добросовестной мысли учёного».

Литература

1. Лузин Н. Н. Современное состояние функций действительного переменного. - М.-Л., 1933.
2. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. // Об основаниях геометрии. - М., 1956.
3. Флоренский П. Мнимости в геометрии. - М., «Лазур» , 1991, 2-е изд.
4. См. письмо П. А. Флоренского К. П. Флоренскому. // Вопросы истории естествознания и техники, 1988, ? 1.
5. Brouwer L. Е. J. Collected works, vоl. I, - Amsterdam Oxford, 1975.
6. Рашевский П. К. «Основания гeометрии Гильберта и их место в историческом развитии вопроса».- В кн.: Д. Гильберт. Основания гeометрии. - М.-Л., 1948.
7. Лузин Н. Н. Собрание сочинений, т. II. - М., 1958.
8. Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. - М., 1992.
9. Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. - М., 1987.
10. Гильберт Д. Основания гeометрии. - М.-Л., 1948.
11. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. - М.,1948.
12. Godel К. А remark about rеlаtiоnshiр between relativity theory and idealistic philosophy,- In: Albert Einstein: philosopher-scientist. Evanston, Illinois, 1949.
13. Седов Л. И. Размышления о науке и об учёных. - М., 1980.
14. Некрасов П. А. Московская философско-математическая школа и её основатели. // Математический сборник, т. 25, вып. 1, - М., 1904.
15. Флоренский П. А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент меросозерцания». // Историко-математические исследования, вып. ХХХ, М., 1986.
16. Вернадский В. И. «Царство моих идей впереди». / Журнал «Природа», 1990. ? 6.  


Опубликовано: журнал «Русская Мысль», 1993, ? 1-2, стр. 103-117.





« назад

Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 89, Выпуск № 2 (2017г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 89, Выпуск № 1 (2017г.)
ЖРФМ, 2016, № 1-12 (ЖРФХО, Т. 88, вып. № 4)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 3 (2016г.)
Шпеньков Г.П. Динамическая модель элементарных частиц. Видео лекция
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 2 (2016г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 88, Выпуск № 1 (2016г.)
Журнал
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 87, Выпуск № 3 (2015г.)
Журнал Русской Физической Мысли, 2015, № 1-12
Журнал Русского Физико-Химического Общества, Том № 87, Выпуск № 2 (2015г.)
Журнал Русского Физико-Химического Общества ЖРФХО, Том 87, Выпуск № 1 (2015г.)
Энциклопедия Русской Мысли. Том 24
Энциклопедия Русской Мысли. Том 23
Энциклопедия Русской Мысли. Том 22
Энциклопедия Русской Мысли. Том 21
Армянская секция Русского Физического Общества
Энциклопедия Русской мысли. Том 20
Энциклопедия Русской мысли. Том 19
Энциклопедия русской Мысли. Том 18
Энциклопедия русской Мысли. Том 16
Энциклопедия русской Мысли. Том 15
Энциклопедия Русской Мысли. Том 14
Энциклопедия Русской Мысли. Том XIII
Украинская секция Русского Физического Общества
Санкт-Петербургская секция Русского Физического Общества
Иркутская секция Русского Физического Общества
Новосибирская секция Русского Физического Общества
Катрен 12. ГМО - ГЕНОФАШИЗМ
Водородное топливо Юрия Краснова
Алиев А.С. Российская астрономия. Часть 2. - 2011г.
Жигалов В.А. Уничтожение торсинных исследований в России
ЭРМ 12: Колесников И.В. Природа глобальных катаклизмов. - 2010 г.
Алиев А.С. Российская астрономия. - 2010 г.
Открытое Заявление Президента Русского Физического Общества Родионова В.Г. Президенту Российской Федерации Медведеву Д.А.
ЭРМ 11: Оше А.И. Поиск единства законов природы (Инварианты в природе и их природа). - 2010 г.
ЭРМ 10: Петракович Г.Н. Биополе без тайн. Сборник научных работ. - 2009 г.
ЭРМ 1: Гриневич Г.С. Праславянская письменность. Результаты дешифровки. Том 1. - 1993 г.
ЭРМ 6: Хачатуров Е.Н. Элиминация значительной части ДНК... - 1995 г.
ЭРМ 3: Иванов Ю.Н., Иванова Н.М. Жизнь по интуиции. - 1994 г.
ЭРМ 4: Гудзь-Марков А.В. Индоевропейская история Евразии. Происхождение славянского мира. - 1994 г.
Два открытия
Официальный доклад Аполлон-11. Лунные карты составлены безграмотно
Ральф Рене. Как NASA показало Америке Луну
НЛО: соседи по Солнцу.16.05.2011
Бутусов. Раджа Солнце. Глория. 9.01.2012
Катрен 18. Технология спаивания
Фильм С. Веретенникова
Энциклопедия русской Мысли. Том 17

Ссылки:

rodionov@rusphysics.ru - ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК РЕДАКЦИИ ЖУРНАЛА "ЖУРНАЛ РУССКОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ МЫСЛИ"
Главный редактор Родионов В.Г.
Денежные пожертвования направлять в Сбербанк РФ на карточку № 63900240 9014875013.


Rambler's Top100